[图文]顾此不失彼的DOE

顾此不失彼的DOE

（DOE系列之五）

资深六西格玛咨询专家  周暐

   本连载前四个系列已经介绍了几种不同背景、不同要求的情况下，应用DOE的原理和技巧。但细心的读者会发现之前的案例有一个共同的特点（或者称为局限）：数据分析仅限于单个响应变量。在实际工作中，常常会遇到要同时考虑多个响应变量的情况，例如希望断裂强度越大越好，同时希望厚度越小越好；希望质量水平越高越好，但同时希望成本越低越好等等。这类问题与古人所说的有些相像：“鱼与熊掌，能否兼得”？确实，如何同时考虑多项指标是个很复杂的课题。今天我们的任务就是另辟蹊径，设法解决处理多指标问题，使DOE也可以顾此不失彼。DOE方法的实现离不开统计分析软件的支持，高端六西格玛统计分析软件JMP是目前业界最先进的六西格玛工具，其在DOE方面的表现最为优秀，本期案例我们仍以中英文双语版JMP软件作为DOE方案实现的载体。

   其实，解决这个问题的关键是能否创建一个新指标，用它来代表所有的旧指标，然后通过优化这个新指标，就可以实现多指标的平衡化最佳，也就是总体最佳了。这个新指标用什么来表示呢？答案是首先将原先的响应变量转化为另一个变量：意愿(Desirability)d，它的建立可以将求任意响应变量达到最优的问题转化为求一个取值范围在0至1之间的单个意愿达到最大的问题。意愿的函数形式可分为三大类，同时根据实际情况，分别确定它们的容许范围，即“下限”（Lower）和“上限”（Upper）。当试验的指标是越大越好，即“望大”型（Maximize）时，可以用图一来描述此时意愿的规律；当试验的指标是越小越好，即“望小”型（Minimize）时，可以用图二来描述此时意愿的规律；当试验的指标是越接近某值越好，即“望目”型（Target）时，可以用图三来描述此时意愿的规律。这三种不同的函数形式反映了三种不同的指标需求，它们的共同特征是d的取值越接近于1表示越结果越令人满意，d的取值越接近于0则表示相反。

   此外，一个过程可能有很多响应变量，而且这些响应变量的重要程度对我们来说也可能不尽相同。权重（Weight）w就是用来表示不同响应变量的重要程度的变量，它的默认值为1，取值范围一般从0.1到10，越小说明其越不重要，越大说明其重要性越强。

    在单个意愿d_i及其对应的权重w_i的基础上，就能够合成一个综合指标：复合意愿 。它的一般定义公式为： ，如果这些单个意愿的权重全部相等，则上式可以简化为：。复合意愿D就是我们需要创建的一个新指标，有了它，就可以来考虑k个响应变量的同时优化问题了。

图一  “望大型”意愿示意图

图二  “望小型”意愿示意图

图三  “望目型”意愿示意图

   在掌握了多变量响应优化的原理之后，再加上专业DOE软件JMP的具体实施，相应的问题就迎刃而解了。遵循理论联系实际的风格，本文继续通过一个工业案例来介绍多指标DOE的实际应用。

    场景 :在半导体行业中，蚀刻率（Etch）和不均匀性（Ununiformity）都是非常重要的质量指标，它们的表现与生产过程中的间隙（Gap）和功率（Power）这两个因素密切相关（具体信息参见图四）。在以往的DOE研究中，曾分别独立地对Etch和Ununiformity做过优化，但产生的矛盾是各自所要求的Gap和Power之间的设置差距较大，怎样才能兼顾两种不同效应的表现，找到最合适的输入控制因素的设定呢？

图四  某半导体生产流程的输入输出表

   显然，此时的半导体技术人员已处于流程的优化阶段，但同时正面临着一个“鱼与熊掌，孰轻孰重”的两难境地，寄希望于普通的DOE理论是于事无补的。而基于复合意愿理论的DOE方法就有了用武之地，使我们“鱼与熊掌，一举兼得”。

   首先，根据已掌握的信息，按照中心复合设计的原则，制定12次运行次数的试验规模以及每次试验时的Gap和Power的具体设置。接着，根据既定的试验计划进行实施，并且同时收集每次试验时Etch和Ununiformity的响应值。将以上结果汇总之后，即可得到如图五所示的JMP文件格式的数据表格。

图五  中心复合设计的试验结果汇总表

   然后，与以往一样，运用JMP软件中的“模型拟合”的操作平台，就可以得到生产过程的量化分析。我们从大量的分析报表中精选了两个直观形象的图形（图六和图七）来具体说明分析结果。

   图六为等高线图，平面地二维坐标表示输入变量Gap和Power，而红蓝两色的等高线分别表示输出变量Etch和Ununiformity。红色阴影区域是Etch的“不可行区域”，蓝色阴影区域是Ununiformity的“不可行区域”，中间一带的白色区域是可以同时满足Etch和Ununiformity要求的“可行域”，它为我们指明了Gap和Power的合理设置范围，也可以将它看作能使输出结果最稳健的取值区域。

图六  等高线图

   图七为预测刻画器，它是一个二维坐标系矩阵。我们可以从中观察到输入变量与输出变量之间的变化规律，各个输出变量与其对应的单个意愿之间的关系，以及各个输入变量对复合意愿的影响。更可以精确地找到理想的因子设置：Gap=1.110417，Power=371.0027，它们将会形成复合意愿的最大值：D=0.571931，它所对应的实际输出因子的结果是：Etch=1124.607，Ununiformity=103.5209。与实际要求相比较，这样的结果无疑是令人满意的，既能“顾此”，亦能“不失彼”。

图七  预测刻画图